|
Теперь можно получить условие калибровки Лоренца для уравнений (1.3.4). С этой целью мы подействуем оператором на уравнение для векторного потенциала А в системе (1.3.5), а также подействуем оператором на уравнение для скалярного потенциала в системе (1.3.5). После сложения получим: Из этого выражения вытекает, в частном случае, условие калибровки Лоренца . Более общий случай оставляем для анализа читателям. Выражения ?Ai /?xi = 0 (калибровка Лоренца) и ?ji /?xi = 0 (уравнение непрерывности для 4-тока) необходимо добавить к уравнениям (1.3.3). В результате мы имеем полную систему уравнений Максвелла. Разве этот вывод уравнений Максвелла в калибровке Лоренца сложнее, чем в [1]? Напротив, оно проще и компактнее. Заметим, что отсюда следует понятие «градиентная инвариантность», упоминающаяся в «Теории поля» Ландау и Лифшица. В книге справедливо замечено, что условие Лоренца ?Ai /?xi = 0 позволяет исключить одно из 4-х скалярных волновых уравнений («градиентная инвариантность»). 4. Обобщенный закон сохранения энергии-импульса ПойнтингаАналитическая механика дает способ построения тензора энергии-импульса по заданной функции Лагранжа. Этот способ описан в [1]. Тензор энергии-импульса равен (1.4.1) где Вычисления дают следующее выражение для тензора энергии-импульса (1.4.2) Нетрудно заметить, что тензор энергии-импульса симметричен Tik = Tki. Известно, что 4-дивергенция этого тензора для свободного пространства (когда поля описываются за пределами источников) равна нулю, т.е. ?Tik /?xk = 0. Из этого выражения вытекают законы сохранения энергии и импульса волны. Мы запишем результаты для свободного от источников полей пространства. Закон сохранения плотности потока S электромагнитного поля волны — 6 —
|