Обсудим учебник Ландау и Лифшица Теория поля

(1.2.5)

Выражение (1.2.5) полностью эквивалентно выражению (1.2.1). Такая форма функции Лагранжа для электромагнитного поля упоминается, например, в КЭД [4].

3. Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

Теперь мы можем получить «уравнения движения», т.е. уравнения для нахождения потенциалов электромагнитного поля, порожденных 4-вектором тока jk. Для этого запишем функционал (интеграл действия), который будем варьировать.

(1.3.1)

Интегрируя по частям, получим

(1.3.2)

Первый интеграл по гиперповерхности Sk обращается в нуль по тем же причинам, что и последний интеграл в выражении (1.4.4). Итак, мы получаем окончательную систему уравнений для 4-потенциала Ai

, (1.3.3)

Система уравнений (1.3.3) представляет собой уравнения Максвелла в калибровке Лоренца. Ее классический вид

(1.3.4)

Таким образом, новое выражение для плотности лагранжиана приводит к правильным уравнениям электродинамики (уравнения Максвелла в калибровке Лоренца).

Как известно, плотность тока определяется скоростью движения объемной плотности зарядов j = ?v. Плотности тока и плотности заряда отвечает уравнение непрерывности

(1.3.5)