Обсудим учебник Ландау и Лифшица Теория поля

Можно использовать здесь идею Ландау Л.Д. [1] о возможности исключить одно из четырех уравнений (см. гл. 3, параграф 18, «Градиентная инвариантность»). Например, можно исключить уравнение для скалярного потенциала, чтобы привести два волновых уравнения (1.3.4) к одному векторному.

Для этой цели в (1.5.1) продифференцируем уравнение для A2 по времени, а в (1.5.2) подействуем оператором градиента на всех слагаемые. Теперь сложим полученные результаты. Мы получили волновое уравнение для продольного электрического поля Епр

(1.5.4)

В правой части выражения (1.5.4) содержатся источники продольного электрического поля. Чтобы поле Eпр = 0, необходимо, чтобы источники этого поля отсутствовали, т.е. необходимо, чтобы

. (1.5.5)

К выражению (1.5.5) мы можем добавить уравнение непрерывности для j2 (по определению div j1 = 0):

(1.5.6)

Выражения (1.5.5) и (1.5.6) приводят к волновым уравнениям для токов и зарядов

(1.5.7)

Здесь мы обнаруживаем интересный факт: продольные волны будут отсутствовать тогда и только тогда, когда плотность зарядов и плотность безвихревого компонента тока удовлетворяют волновому уравнению. Другими словами, плотности токов и плотности зарядов будут «запаздывающими» или же «опережающими»!

Теперь мы сделаем прямые (честные) выводы, не оглядываясь на современные объяснения физических явлений:

• Чтобы исключить продольные электромагнитные волны, нам пришлось привести систему уравнений Максвелла к одному векторному волновому уравнению для вихревого векторного потенциала. Скалярный потенциал и безвихревая составляющая векторного потенциала исчезли из системы уравнений (взаимно уничтожили друг друга). Сохранилась только поперечная электромагнитная волна векторного потенциала (divE = 0 и divH = 0).
• Продольные волны будут отсутствовать только в том случае, если плотность пространственного заряда и безвихревая составляющая плотности тока, в правых частях волновых уравнений, удовлетворяют однородному волновому уравнению. По физическому смыслу это некие «виртуальные» заряды и токи, не обладающие инерцией.
• Можно сказать, что проводимость, обусловленная такими токами, является классическим аналогом «сверхпроводимости». Следовательно, классическая теория электронной проводимости (Друде) не является полной и корректной и требует уточнения.
• «Виртуальные» заряды хорошо объясняют сверхбыстрое выполнение граничных условий. Инерциальные электроны проводимости не способны столь быстро реагировать на изменение поля из-за большой инерции.
• Интересный факт: с такими зарядами и токами постоянно работают специалисты по технике СВЧ. Они имеют дело с поверхностными токами в волноводах, объемных резонаторах, антеннах, коаксиальных и двухпроводных линиях и т.д.
• Заметим, что решение задачи об излучении диполя Герца (калибровка Лоренца) будет содержать продольные волны, если скорость движения зарядов в «усах» диполя будет отличаться от скорости света.

Итак, мы свели все уравнения Максвелла к одному векторному уравнению для вихревого потенциала. Исчезли инерциальные заряды (электроны, протоны…), но вместо них появились «виртуальные» заряды. Неужели мы пришли к тупику? Нет!