Метафизические принципы исчисления бесконечно малых

13 Таким образом, бессмысленно утверждать, что, например, пространство может быть ограничено только чем-то также пространственным, при том что пространство вообще не может быть ограничено ничем; оно, напротив, ограничено самой той обусловленностью, которая составляет его собственную природу в качестве пространства и которая оставляет место, вне его, всем непространственным возможностям.

14 Ср. замечание А.К. Кумарасвами по поводу платоновского понятия "меры", приведённое нами в другой работе (Царство количества и знамения времени, гл. 3): "не измеренное" – это то, что ещё не было определено, то есть, короче говоря, неопределённое, и оно тем самым одновременно представляет собой нечто, только неполностью реализованное в проявленности.

Глава 2.

Противоречивость понятия "бесконечное число".

Как мы ещё отчётливее проясним по ходу дальнейшего изложения, в некоторых случаях достаточно заменить идею так называемого бесконечного идеей неопределённого, для того чтобы немедленно развеять все возникающие проблемы; но в некоторых случаях этот шаг невозможен, поскольку речь идёт о чём-то явно определённом – "постоянном", так сказать, по определению – которое, как таковое, не может быть причислено к неопределённому исходя из наших недавних замечаний. Так, например, можно сказать, что некоторая последовательность чисел неопределённа, но не что некоторое число, каким бы большим его ни предполагали и какое бы положение оно ни занимало в последовательности, является неопределённым. Идея "бесконечного числа", понимаемого как "наибольшее из всех чисел" или "число всех чисел" или "число всех единиц", является сама по себе поистине противоречивой идеей, которая осталась бы невозможной даже при отказе от неправомерного употребления слова "бесконечное". Не может быть числа, большего чем все другие, поскольку, как бы велико ни было число, всегда можно образовать большее путём добавления единицы, согласно формуле образования последовательности, упомянутой нами ранее. Это равнозначно утверждению, что у последовательности чисел не может быть конечного члена, и именно по той причине, что она не "оканчивается", она является поистине неопределённой; поскольку число членов последовательности равно последнему её члену, можно сказать, что последовательность "неисчислима", и к этой идее мы ещё вернемся по ходу дальнейшего изложения.

Невозможность "бесконечного числа" может быть установлена и другими различными аргументами. Лейбниц, который, по крайней мере, хотя бы это понимал чётко1, рассматривал аргумент о сопоставлении последовательности чётных чисел с последовательностью целых чисел: каждому числу в таком сопоставлении соответствует другое число, равное произведению первого на два, таким образом, можно сопоставить обе последовательности почленно, и результатом будет совпадение количества членов в обеих; но, очевидно, что целых чисел в два раза больше, чем чётных, поскольку чётные числа идут через одно в последовательности целых чисел; таким образом, сопоставление приводит к очевидному противоречию. Этот аргумент можно обобщить, взяв вместо последовательности чётных чисел (то есть умноженных на два) числа, умноженные на любое число, и вывод останется прежним; или же, подобным образом, можно взять последовательность квадратов целых чисел2 или, более общим образом, последовательность их степеней любого показателя. В любом случае, вывод будет прежним: последовательность, включающая только часть целых чисел будет равной по числу членов другой последовательности, включающей все целые числа, что равнозначно утверждению, что целое не больше его части, и, при допущении существования числа всех чисел, это противоречие будет неизбежным. Тем не менее некоторые полагали возможным избежать данного противоречия, предполагая существование чисел, умножение на определённое число или возведение в определённую степень которых невозможно именно по причине того, что такие операции будут иметь результатом число, превосходящее так называемое "бесконечное число"; находятся даже такие, которые в самом деле склоняются к рассмотрению чисел, описываемых как "большие чем бесконечность", – так появляются такие теории, как "трансфинитные числа" Кантора, которые могут выглядеть весьма хитроумными, но находятся за пределами какой-либо логической состоятельности3: является ли вообще мыслимой такая фантазия, которая предполагает именовать число "бесконечным", когда напротив оно настолько "конечно", что даже не является наибольшим из чисел? Более того, при наличии таких теорий будут существовать такие числа, к которым не будут применимы никакие из правил обыкновенного вычисления, то есть, коротко говоря, числа, которые не будут являться в действительности числами, а только называться таковыми по соглашению4. Так неизбежно происходит, когда в попытке помыслить "бесконечное число" иным образом, нежели как наибольшее из чисел, рассматривают различные "бесконечные числа", предположительно неравные друг другу, которым приписываются качества, уже не имеющие ничего общего с качествами обычных чисел; так через уход от одного противоречия открывается дорога к нескольким новым, и всё это, по сути, является только результатом того самого пресловутого бессмысленного "конвенционализма".