|
1 Он писал: "Невзирая на мою теорию исчисления бесконечно малых, я не признаю существования в действительности бесконечного числа, хотя я признаю, что совокупность всех вещей превосходит все конечные числа или, скорее, всякое число". 2 Это было произведено Коши, который приписывал этот аргумент Галилею (Sept le?ons de Physique g?n?rale, лекция третья). 3 Уже во времена Лейбница Валлис рассматривал spatia plus quam infinita (более чем бесконечное пространство); эта точка зрения, раскритикованная Вариньоном как заключающая противоречие, также поддерживалась Гвидо Гранди в его книге De Infinitis infinitorum (О бесконечности бесконечных). С другой стороны, Иоганн Бернулли в ходе дискуссий с Лейбницем писал: "Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum equuntur" ("Если даны границы бесконечного, будут даны и границы бесконечно малых (не говорю: предельные границы), которые из них следуют"), что, при отсутствии более внятных пояснений с его стороны, выглядит как его предположение, что в числовой последовательности могут быть члены "за пределами бесконечного". 4 Ни в коем случае нельзя считать, что здесь дело в аналогическом употреблении понятия числа, ибо это подразумевало бы переход в область, инаковую по отношению к количеству; напротив, соображения такого рода всегда относятся исключительно к количеству, понимаемому в его самом буквальном смысле. Таким образом, идея так называемого "бесконечного числа", каким бы способом её ни излагали и каким бы именем ни называли, всегда содержит противоречивые элементы; вместе с тем, сама потребность в такой абсурдной идее отпадает с того момента, как только формируется адекватное понятие о сути неопределённости числа, а также понимание того, что число, несмотря на его неопределённость, ни в коем случае не приложимо ко всему существующему. Нет необходимости задерживаться на этом моменте, так как мы уже досточно пояснили его в других наших работах. Число является только модусом количества, а количество само по себе является всего лишь категорией или особенным модусом бытия, неравнообъёмным по отношению к нему, или, ещё точнее, количество является всего лишь условием, присущим одному определённому состоянию существования во всей целостности вселенского бытия; и именно этот момент современные учёные понимают с наибольшим трудом при их привычной склонности сводить всё к количеству и даже к численной оценке всего5. Тем не менее в самой области количества есть реалии, существующие вне числа, как мы увидим при рассмотрении категории непрерывности (континуальности); и даже оставаясь исключительно в сфере рассмотрения дискретного количества, следует признать, по крайней мере, косвенным образом, что число не приложимо ко всем явлениям – например, очевидно, что множество всех чисел не может составлять числа; что, вместе с тем, представляет собой только частный случай той неоспоримой истины, которая гласит, что нечто, ограничивающее некоторый уровень возможностей, должно с необходимостью принадлежать уровню внешнему и инаковому по отношению к ограничиваемым объектам6. Необходимо только уяснить, что такое множество, будь оно прерывным, как в случае последовательности чисел, или непрерывным – этот вопрос мы рассмотрим далее – никоим образом не может именоваться бесконечным, и в таких случаях не может иметь места ничего кроме неопределённого; и именно это понятие множества мы сейчас намерены рассмотреть более подробно. — 13 —
|