|
Эта задачка посложнее, но именно здесь начинается наиболее интересное. Возможно, читателю покажется, что мы построили евклидово пространство. Но это еще необходимо установить, поскольку и в криволинейном пространстве в каждой точке пространства можно выделить малый объем и построить малюсенький «евклидов трехгранник» из ортогональных осей. Ведь бесконечно малый элемент объема «гладкого» криволинейного пространства в первом приближении можно рассматривать, как евклидово пространство. Для начала проведем плоскости через все отмеченные на осях координат точки. Наше пространство оказалось разбито на бесчисленное множество «кубиков» (счетное множество). Чтобы установить характер пространства, мы должны сравнить между собой два «кубика», которые принадлежат разным областям пространства, выбранным произвольно. Таких сравнений может быть бесконечное число. Если размеры кубиков, направление ребер, или же кривизна плоскостей граней будут различаться, тогда мы можем констатировать наличие «внутренней» кривизны пространства. В противном случае мы будем иметь дело с евклидовым пространством. Все очень просто! Для примера мы выберем первый «кубик» возле начала координат, а второй в некоторой удаленной от начала координат точке. Нам достаточно переместить удаленный «кубик» к началу координат и совместить его с первым «кубиком». И тут мы получаем удивительный результат: «Внутренняя кривизна» пространства отсутствует! Тот же результат мы получим, если возьмем «кубик» из другой части пространства. Более того, если мы переместим первый «кубик» к удаленному второму, результат будет тот же. Причина в том, что при перемещении кубика будет изменяться не только форма кубика (если она реально изменяется!), но сопровождающий куб трехгранник и сопровождающие куб масштабы осей. Таким образом, нам необходимо признать, что «свободное» пространство трех измерений всегда (!!!) является евклидовым. Не существует метода, позволяющего сравнить кривизну отдельных областей пространства между собой. Это весьма сильный результат! В Приложении А дана иллюстрация этого положения для двумерного пространства (плоскость). Криволинейное пространство можно описать, опираясь только на евклидово пространство соответствующей размерности. Итак, великие математики Лобачевский, Гаусс, Риман, Больяй и другие геометры «просмотрели» этот факт, а их ученики и последователи положились на авторитет своих учителей. Так ошибка стала предрассудком. Мы выше рассмотрели трехмерное пространство. Этот результат допускает обобщение для пространств с большей размерностью, в том числе и для пространственно-временного континуума. Гносеологические следствия, вытекающие из этого результата очень важны для физики. Мы их рассмотрим позже. — 5 —
|