Заблуждение геометров, ставшее предрассудком

В произвольной геометрии рассматриваются произвольные преобразования координат:

x? = f ?(x?)

….. Дифференциал в нетильдованной системе связан с дифференциалом в системе координат с тильдой уравнениями вида:

…… Геометрия четырехмерного пространства - времени полностью определяется десятью функциями, которые являются компонентами симметричного тензора второго ранга. Метрика четырехмерного интервала есть:

ds2 = g??dx?dx?

Здесь g??- ковариантные компоненты метрического тензора или, как обычно говорят, метрический тензор второго ранга….»

Далее идут пояснения и примеры, изложение элементов тензорного анализа, а в конце авторы приходят к эйнштейновским уравнениям тяготения, к криволинейному пространству-времени и т.д.

Такой подход подразумевает, что читатель, «скользнув по верхам» (не задумываясь), «проглотит» (примет без разговоров «на веру») все то, что написано уважаемым (недосягаемым по уровню знаний!) «специалистом». Для нас, людей, любящих точность и логическую последовательность, такой подход неприемлем. Сразу же напрашиваются вопросы: а откуда появились х?, ds, g?? и другие переменные?

Поэтому мы должны повторить анализ с самого начала.

3. Начинаем снова с самого начала

Допустим, что вы «идеальный» геометр, снабженный идеальной линейкой, циркулем и карандашом, который по вашему желанию прочерчивает метки, и другими геометрическими «безделушками». Вы оказались в «свободном» (чистом от всего) трехмерном безграничном пространстве и можете перемещаться в нем вопреки постулатам Эйнштейна с любой скоростью, в любую сторону и сколь угодно далеко.

Но как обнаружить перемещение, если ничего нет? Чтобы избежать неопределенности, вы в некоторой точке пространства ставите (рисуете) «точечный объект» (например, шарик сколь угодно малого радиуса). Это начало координат вашей системы.

Следующим шагом является установление расстояния, на которое вы удалились от начала координат. Для этого вы берете линейку и проводите через начало координат в обе стороны бесконечную прямую линию. Но этого мало. Вы с помощью циркуля и линейки проводите через начало координат две другие оси, ортогональные первой линии и друг другу. Видите, как все просто!

Идем дальше. Для измерения расстояния вы выбираете масштаб, одинаковый для всех осей (для удобства) и наносите на всех осях метки через расстояния, равные масштабу. Теперь вы «не заблудитесь», совершая путешествия в «свободном» пространстве. Но и этого мало. Вам нужно установить: является ли ваше трехмерное пространство евклидовым или же оно является криволинейным пространством? Говоря «умным» языком, нам необходимо определить метрический тензор g?? и найти риманов тензор кривизны пространства.