|
266 этим выразим, что вверяем себя машине, а потому принимаем выводы,, полученные в результате ее действий, как свои собственные. Законная цель формализации заключена в том, чтобы свести сферу действия неявного фактора к более ограниченным и, очевидно, неформальным операциям; но было бы бессмысленно добиваться полной элиминации нашего личностного участия. Как мы увидим, это заключение в своей общей форме применимо к любого рода автоматам. Здесь мы можем его подробнее рассмотреть только применительно к процессу логического вывода и к машинам, реализующим этот процесс; но такое рассмотрение весьма поучительно и для логического анализа разного рода автоматических устройств, используемых при моделировании интеллекта. Наиболее важные теоремы, ограничивающие формализацию логического мышления, принадлежат К. Гёде-лю. Они основаны на том факте, что в любой дедуктивной системе, включающей в себя арифметику (такова, например, система «Principia mathematica» Рассела и Уайтхеда) можно построить формально неразрешимые в этой системе формулы, т. е. высказывания, и что какое-либо из таких высказываний (знаменитое «гёделевское высказывание») само может говорить о себе, что его истинность или ложность недоказуема в данной системе. Построив его, мы можем далее неформальным образом сопоставить его с ситуацией, к которой оно относится, то есть с демонстрацией его собственной неразрешимости, и обнаружить тогда, что то, что говорит данное высказывание, истинно. Соответственно мы решим согласиться с даннвым высказыванием. Будучи таким образом утверждено, высказывание становится дополнительной аксиомой, независимой от аксиом, из которых было выведено неутвержденное высказывание 1. Из этой процедуры видно, что любая достаточно богатая формальная система неизбежно неполна и в то же время способна пополняться новыми аксиомами, обоснованно вводимыми в нее нашим личностным суждением. Тем самым предлагается некая модель концептуального нововведения в дедуктивных науках, которая иллюстрирует существенную неисчерпаемость математической эвристики, а также лп^псстпьш п необратимый характер действий, непрерывно эти возможности использующих. ' Go del К. — In: "Manalsh. Math. Phys.", 1931, 38, S. 173—198. 267 Гсдель показал также, что предложение, формальную неразрешимость которого можно доказать, может говорить о невозможности установить непротиворечивость аксиом данной системы. Отсюда, как я уже упоминал, вытекает, что мы никогда до конца не знаем, что означают нашп аксиомы, так как если бы мы это знали, то могли бы избежать утверждения в одной аксиоме того, что дру-1ая отрицает. Эта неопределенность могла бы быть устранена для каждой конкретной дедуктивной системы включением ее в более широкую систему аксиом, в рамках которой непротиворечивость первоначальной системы уже можно было бы доказать. Однако любое подобное доказательство все равно до конца не устранит неопределенности в том смысле, что непротиворечивость расширенной системы аксиом всегда будет оставаться неразрешимой. — 210 —
|