|
Выше (см. ч. II, гл. 5 книги) я уже описал, каким образом математик совершает открытие, полагаясь то на интуицию, то на вычисления, но никогда не освобождаясь от того или другого полностью. Обычно эти переходы от интуиции к вычислению и обратно постепенны. Сопоставление гёделевского предложения с фактами, о которых оно говорит, и последующее повторное утверждение этого высказывания — эти два акта совместно устанавливают как раз тот отправной пункт, в котором скрытый компонент мышления принимает на себя руководство процессом преодоления логического разрыва1. ' Неявный компонент любого формального процесса вывода выполняет сходную с рассмотренной функцию в процессе отделения консеквента (см.: Jeffreys H. — In: "Brit. Journ. Phil. Sci.", 1955, 5, p. 283. Джеффрио поддерживает здесь аргумент, выдвинутый Л. Кэрроллом: Carroll L. What the Tortoise said to Achilles. — "Mind" N. S. 1895, 4, p. 278). Та же самая неявная операция подразумевается Тарским в его определении истины в связи с переходом от предложения «"Снег бел" истинно» к акту утверждения, что снег бед. Отказ от нулевой гипотезы как опровергаемой статистическими данными — еще один случай, когда решение на основе неявного фактора вынуждается обстоятельствами, по сутп, с необходимостью. 269 Сходное чередование переходов от интуиции к вычислению и обратно обнаруживается в методе «математической индукции», который Пуанкаре рассматривал как основу всех математических нововведений 1. Согласно этому "методу, прежде всего доказывается последовательность теорем, которые выполняются для некоторой последовательности целых чисел, причем каждая следующая теорема есть следствие предыдущей. Затем отсюда делается вывод, что теорема верна для всех членов натурального ряда вообще. Чтобы сделать такой вывод, разум должен просматривать всю серию доказательств в обратном направлении п обобщать принцип своих собственных прошлых действий. Аналогия между гёделевской процедурой инновации и правилами открытия, обрисованными Пуанкаре, служит доводом в пользу тесной связи между неформальным актом утверждения и столь же неформальным актом открытия. Различие между ними кроется в том, сколь велик логический разрыв, преодолеваемый в том и другом случае. Разрыв, преодолеваемый при повторном утверждении гёделевского высказывания, чрезвычайно узок, почти незаметен, в то время как в подлинных актах открытия он может быть настолько широк, насколько, вообще бывает широк разрыв, который человеческий ум может надеяться преодолеть. Здесь акт согласия снова оказывается логически родственным акту открытия: оба они представляют собой, по существу, неформализуемые, интуитивные психические решения. — 212 —
|