Личностное знание

(1) Принятие знаков на бумаге в качестве символов

подразумевает, что мы, во-первых, верим в свою способность идентифицировать такой знак во всех случаях, когда он нам встретится; и, что мы, во-вторых, осведомлены о том, как его правильно употреблять. И в том и в другом мы можем ошибаться, а поэтому вера в оба эта положения представляет собой взятое нами на себя обязательство. (2) Соглашаясь рассматривать некоторый набор символов как формулу, мы тем самым принимаем его как нечто утверждаемое. Это подразумевает нашу веру в то, что такой набор говорит нечто "и о чем-то. Мы ожидаем, что сможем распознать объекты, удовлетворяющие данной формуле, в качестве отличных от других объектов, которые ей не удовлетворяют. Поскольку процесс, с помощью которого должны удовлетворяться наши аксиомы, по необходимости остается неформализованным, наше санкционирование этого процесса представляет 265

собой с нашей стороны акт самоотдачи. (3) Манипуляцию с символами, согласно механическим правилам, нельзя назвать доказательством, если она выполняется без убежденности в том, что все, что удовлетворяет исходным аксиомам, будет также удовлетворять и тем теоремам, к которым в конечном счете приходят. Нельзя назвать доказательством такое оперирование символами, о котором мы не можем сказать, что оно успешно, в том смысле, что оно убедило нас демонстрацией своих выводов. И здесь опять-таки это признание успеха есть не-формадизуемый процесс, выражающий приверженность определенным принципам.

Итак, можно сказать, что в ряде моментов формальная система символов и операций функционирует как дедуктивная система только благодаря неформализованным дополнениям, которые принимает тот, кто работает с данной системой: символы должны быть идентифицируемыми, а их смысл известным; должно быть ясно, что доказательства что-то демонстрируют; и эта идентификация, знание, понимание, признание суть неформализуемые операции, от которых зависит функционирование формальной системы и которые могут быть названы ее се-мантическими функциями. Эти функции выполняет человек: он выполняет их с помощью формальной системы, когда может положиться на ее эффективность'.

В самом деле, логически абсурдно будет сказать о машине для логического вывода, что она сама по себе приходит к определенным выводам. Сама по себе такая машина есть просто «машина для вывода» и может делать только «выводы». Если мы здесь опустим кавычки, то

' Формализация может идти и дальше, но только применительно к «теории объектов», описываемой в пределах некоторой метатеории, которая сама неформальна. Это наглядно описано в следующем отрывке из «Введения в метаматематику» С. Клини (М., 1957; с. 61): «Метатеория принадлежит интуитивной, неформальной математике... Метатеория будет выражаться на обычном языке с математическими символами, например, метаматематическими переменными, вводимыми по мере надобности. Утверждения метатеории должны быть понимаемы. Ее выводы должны убеждать. Они должны состоять в интуитивных умозаключениях, а не в применении установленных правил, как выводы в формальной теории. Чтобы формализовать предметную теорию, были установлены правила, но теперь без всяких правил мы должны понимать как эти правила действуют. Интуитивная математика нужна даже для определения формальной».