|
173 зусть нас не убедившее математическое доказательство, к нашему знанию математики это ничего не прибавит. И действительно, ведь ни один преподаватель не будет удовлетворен, если в качестве математического доказательства сообщит своим ученикам лишь соединенную формальными операциями простую цепочку формул. Так же как ни один студент-математик не удовлетворится только запоминанием этих цепочек. Следить за математическим доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага, это, по словам Пуанкаре, равносильно такому наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры. Минимальное требование — это понимание логического следования как целенаправленной процедуры, «того, что создает единство доказательства» (следуя Пуанкаре) 1. Именно это «что-то» (возможно, в форме общей схемы, охватывающей основные шаги доказательства) студент должен чувствовать, если его озадачивает цепь не имеющих для него смысла операций. И именно подобная схема, воплощающая в себе общий принцип или итоговую структуру математического доказательства, останется в памяти, когда будут забыты его подробности. Я и сейчас могу вспомнить ту общую процедуру, которой я следовал в своих лекциях примерно десятилетней давности, анализируя волновое уравнение для атома водорода, хотя ни одного фрагмента самого доказательства я уже не в состоянии записать; и это осмысленное припоминание удовлетворяет меня в том отношении, что я все еще понимаю волновую механику, а это поддерживает во мне убежденность в ее неоспоримости. С другой стороны, хотя я много раз продумывал один за другим все шаги формального доказательства упомянутой гёделевской теоремы, мне это ничего не дало, ибо я так и не смог уяснить себе их последовательность в целом. Даже среди математиков довод, представляющийся вполне убедительным для одного, может для другого оказаться совершенно непонятным2. Из этого исходит стремление путем строгой формализации дедуктивных наук ' См. работу А. Пуанкаре «Интуиция и логика в математике», написанную в 1900 г. и воспроизведенную в его же книге «Ценность науки» в качестве первой главы. Пуанкаре А. О науке. М.. «Наука», 1983, с. 159—169. 2 Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948, с. 154. 174 устранить всякий повод для вмешательства личностного суждения: стремление, как мы показали ранее, саморазрушительное. В самом деле смысл формализма лежит в сфере периферического сознания, в рамках концептуального фокуса, удерживаемого посредством самого этого формализма. И этот смысл поэтому неизбежно будет отсутствовать в операциях, которые выполняются над символами, рассматриваемыми совершенно безлично, как объекты. Осознание ограниченного характера задач формализации затемняется при попытках сделать ее полной (в математических доказательствах): выигрыш, в точности получаемый в результате более тщательной элиминации всего неоднозначного, сопровождается утратой ясности и понятности!. — 131 —
|