|
A2 |
Каждое орудие следит за целью, направляющейся к другому объекту. |
|
|
A3 |
Оба орудия следят за самолётом № 1. |
|
|
A4 |
Оба орудия следят за самолётом № 2. |
|
|
Сторона B |
||
|
B1 |
Оба самолёта не меняют направление. |
|
|
B2 |
Оба самолёта применяют обманный манёвр. |
|
|
B3 |
Первый самолёт совершает манёвр, а второй – нет. |
|
|
B4 |
Второй самолёт совершает манёвр, а первый – нет. |
Матрица игры:
|
B A |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
min в строке |
|
A1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
A2 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
|
A3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
A4 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
max в столбце |
2 |
2 |
1 |
1 |
? = 1 ? = 1 |
в этой матрице числа означают количества защищённых объектов стороной A или количества потерянных самолётов стороной B.
Так как нижняя ? и верхняя ? цены игры совпадают, то игра имеет седловую точку (на самом деле седловых точек несколько), поэтому игра решается в чистых стратегиях с чистой ценой игры ? = 1.
Оптимальные стратегии сторон: сторона A обоими орудиями следит за одним самолётом (любым), сторона B обоими самолётами атакует один объект (любой).
Результат: один объект будет уничтожен и потерян один самолёт.
Если парная игра не имеет седловой точки, то она не имеет и решения, то есть, делая личные ходы (или, говоря иначе, в чистых стратегиях), игрок A гарантирует себе выигрыш, равный нижней цене игры, которая, вообще говоря, меньше верхней цены игры.
Если же игрок A будет чередовать свои стратегии случайным образом или, говоря иначе, придерживаться смешанной стратегии, то он получит оптимальную стратегию, которая в некоторых случаях будет гарантировать ему б?льший выигрыш.
Определение. Пусть игрок A имеет m стратегий, а игрок B – n стратегий. Смешанной стратегией игрока A называется набор вероятностей SA = (p1, p2, …, pm), где p1 + p2 +… + pm = 1, с которыми он чередует свои стратегии.
Аналогично определяется смешанная стратегия игрока B как набор SB = (q1, q2, …, qm), где q1 + q2 +… + qn = 1.
Имеет место следующая теорема.
Теорема (основная теорема теории игр). Любая m ? n игра имеет решение в смешанных стратегиях и её решение может получено методами линейного программирования.
Доказательство. Пусть m ? n игра имеет матрицу
требуется найти решение игры, то есть две оптимальные смешанные стратегии игроков SA = (p1, p2, …, pm) и SB = (q1, q2, …, qm), где p1 + p2 +… + pm = 1 и q1 + q2 +… + qn = 1.