|
1 Это соответствует последовательным членам неопределённого ряда 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2, который Лейбниц использовал в качестве примера в одном из приведённых выше отрывков. * Речь об апориях "Дихотомия" и (далее) "Ахиллес" (см.: Прерывное и непрерывное, с. 16; Дж. Уитроу, указ. соч., с. 185-197). (прим. перев.) 2 В действительности движения, составляющие процесс его ходьбы, на самом деле непрерывны, как и всякие другие движения, а прерывную последовательность образуют только точки его касания с землёй, так что шаги отмечают определённые интервалы, на которые может быть разбито преодолённое расстояние, при том что не происходит касания земли в промежуточных точках.
Истинное понимание "предельного перехода". Рассмотрение "предельного перехода", как мы отмечали ранее, необходимо если не для практических целей метода бесконечно малых, то, по крайней мере, для его теоретического обоснования, и именно это обоснование интересует нас в рамках настоящего исследования, поскольку обычные практические правила вычислений, возникающие как бы "эмпирическим" путём без понимания их причин и основ, очевидно, не имеют никакого интереса с нашей точки зрения. Несомненно, для завершения вычислений и даже для доведения их до конца нет необходимости рассматривать вопрос, достигает ли переменная своего предела или как она его достигает; тем не менее если она не достигает своего предела, такое исчисление будет только обычным методом приближений. Правда, здесь имеет место неопределённое приближение, поскольку сама природа бесконечно малых величин позволяет свести погрешность к сколь угодно малой – однако же без полного её устранения, поскольку, несмотря на неопределённое убывание, эти бесконечно малые величины никогда не обращаются в ничто. Пожалуй, можно сказать, что с практической точки зрения такой метод равнозначен совершенно строгому исчислению; но, помимо того что не это нас интересует, такая точка зрения не даёт ответа на вопрос: имеет ли смысл само понятие неопределённого приближения, если в плане искомых результатов рассматриваются не переменные, а постоянные и находимые величины? При таких условиях при рассмотрении результатов предстаёт следующая альтернатива: либо предел не достигается, и тогда исчисление бесконечно малых является всего лишь наименее грубым из методов приближения; либо предел достигается, и тогда рассматриваемый метод является действительно строгим. Но мы уже видели, что предел, по самому его определению, не может быть достигнут переменной; как же тогда можно говорить, что он тем не менее достигается? Это может быть строго осуществлено не в ходе вычислений, а в результатах вычислений, поскольку в них должны фигурировать только постоянные и находимые величины, как сам предел – но не переменные; следовательно, единственным подлинным обоснованием строгости исчисления бесконечно малых является, как мы уже указывали, различие между переменными и постоянными величинами, являющееся сугубо качественным различием. — 86 —
|