|
Как и шахматные фигуры, символы чистой математики йе являются (или не обязательно являются) выражением чего-либо ими обозначаемого, а говорят прежде всего о том, как можно их употреблять в соответствии с заданными правилами. Математический символ воплощает концепцию своей операциональное™, подобно тому как в шахматах слон или конь воплощают правило перемещения данной фигуры на доске. Изобретение новых математических символов, которые можно использовать более интересным или практически более эффективным, чем старые, способом, продолжается вот уже в течение столетий. Представление о числах есть уже у животных, но человек, последовательно изобретая все новые и новые символы, развил это понятие далеко за его первоначальные рамки, ограничивавшиеся шестью или восемью целыми числами. Создание позиционного счисления, арабских цифр, знака нуля и запятой для десятичных дробей — все это облегчило изобретение арифметических операций, которые в свою очередь в огромной мере обогатили наше понятие о числе и в то же время 125 сделали более мощными методы практического применения числа для счета и измерения. Система записи, изобретенная одним математиком, может подсказать другому какую-нибудь новую любопытную вариацию концепции, соответствующей этой новой системе записи. Лаплас отмечал, какой удачной оказалась декартова запись возведения в степень для стимулирования исследований о возможности иных (помимо целых положительных) степеней'. К некоторым вопросам теории чисел долгое время нельзя было подступиться по причине огромного труда, который понадобился бы на расчеты для их решения, до тех пор пока не были созданы ЭВМ, во много тысяч раз ускорившие эти расчеты. Таким образом, прогресс математики в значительной степени зависит от изобретения выразительных и удобных в обращении символов для представления математических концепций. Возникновение формальной логики напоминает те успехи, которыми математика обязана изобретению удачных новых символов. Логические символы позволяют нам отчетливо формулировать такие сложные предложения, которые были бы совершенно немыслимы в обычном я.<ыке. Благодаря этому область пригодных для опери ронапия грамматических структур существенно расширилась, и мы можем теперь применительно к этим структурам добиваться таких успехов в дедуктивных рассуждениях, о каких в ином случае не могли бы даже и мечтать. Возникла новая сфера умозаключений столь топкпх и глубоких, что она заслуживает серьезной разработки уже ради иее самой. Поразительное разнообразие способов, которыми могут быть истолкованы системы алгебры или геометрии, доказывает условность приписываемых этим системам обозначающих функций. Они не относятся к конкретным вещам и могут быть пустыми категориями, хорошо определнипы-ми, но нп к чему не применимыми. Так, бесконечное множество N включает все числа; следующие за ним в возрастающем порядке множества Ni и Nz исчисляют соответственно все геометрические точки и все мыслимые кривые; но множества Ns, N4... и т. д. являются бесконечно более мощными, чем любое из перечисленных нами множеств объектов, а потому не прилоя;пмы вообще ни к — 93 —
|