Об искусстве рассуждения

Возьмем для этого прямоугольник (рис. 1), т. е. поверх­ность, ограниченную четырьмя перпендикулярными ли­ниями. Вы видите, что можете рассматривать его как составленный из нескольких маленьких площадей одной и

той же величины; все они оди­наково ограничены перпенди­кулярными прямыми. Вы ви­дите также, что все эти ма­ленькие площади, взятые вме­сте,— это то же самое, что и це­лая поверхность всего прямо­угольника.

Ведь нет разницы между тем, чтобы разделить прямо­угольник на одинаковые квад­ратные площади или нало­жить последовательно на все его части площадь определен­ной величины.

Итак, я рассматриваю разделенный таким образом прямоугольник и вижу, что число квадратных футов, кото­рое он имеет, в высоту, повторяется столько раз, сколько футов содержит его основание. Если на первом футе своего основания он имеет в точности три квадратных фута высоты, то он имеет также в точности три квадратных фута на втором, на третьем и на всех других. Эта истина заметна на глаз, но ее легко проверить при помощи тождественных предложений.

В самом деле, прямоугольник представляет собой пло­щадь, четыре стороны которой перпендикулярны друг другу. У площади, стороны которой перпендикулярны, про­тивоположные стороны параллельны, т. е. одинаково уда­лены друг от друга во всех противоположных точках своей длины.

Площадь, противоположные стороны которой одинако­во удалены во всех точках, противоположных ее длине, име­ет одинаковую высоту по всей длине своего основания. Площадь, имеющая одинаковую высоту по всей длине своего основания, имеет столько же футов в высоту, сколь­ко ее основание имеет футов в длину.

Все эти предложения тождественны. Они суть лишь различными способами выраженное предложение Прямо­угольник есть прямоугольник.

Следовательно, измерить прямоугольник, наложить последовательно на все части его поверхности площадь определенной величины, разделить его площадь на равные квадраты, взять число футов, которое он имеет в высоту, столько раз, сколько футов имеет в длину его основание, — это значит сделать одно и то же несколькими различными способами.

Если это так, то больше нет необходимости ни в том, чтобы делить площадь на маленькие квадраты, ни в том, чтобы последовательно накладывать на различные части площадь определенной величины; взяв число футов в высо­ту столько раз, сколько имеется футов в основании, мы получим точные размеры данной площади.