Вместе с тем, следует заметить, что несмотря на использование этого метода, всегда неизбежно остаётся что-то от дискретной природы числа, что, таким образом, препятствует получению точного эквивалента континуальному; можно уменьшать интервалы как угодно – то есть, в конечном счёте, уменьшать их неопределённо, задавая их меньше любой заранее заданной величины – но от них полностью всё равно никогда не избавиться. Чтобы лучше пояснить это, возьмём простейший пример геометрического континуума, прямую линию: рассмотрим половину прямой линии, протяжёную неопределённо в некотором направлении2, и пусть каждая из её точек соответствует числу, выражающему удалённость этой точки от начала, обозначенного нулём (поскольку её удалённость от самое себя, очевидно, не составляет величины); начиная с исходной точки линии, целые числа будут, таким образом, соответствовать следующим друг за другом краям отрезков данной линии, равным друг другу и единице длины; точки, содержащиеся внутри этих отрезков, будут выражаться только дробными числами, поскольку их расстояние от начала линии не будет точно кратным единице длины. Само собой разумеется, что если брать дробные числа со всё большими знаменателями и, следовательно, со всё меньшей разницей между ними, интервалы между точками, которым соответствуют эти числа, будут уменьшаться в такой же пропорции; таким образом интервалы могут уменьшаться неопределённо, теоретически насколько угодно, поскольку возможные знаменатели дробных чисел представляют собой целые числа, последовательность которых возрастает неопределённо3. Мы сказали "теоретически", ибо в действительности множество дробных чисел неопределённо, и невозможно взять абсолютно все из них, но предположим (идеальным образом), что все возможные дробные числа соответствуют точкам на рассматриваемой половине линии. Несмотря на неопределённое убывание интервалов, на этой линии всё равно останется некоторое множество точек, которым не будут соответствовать числа. С первого взгляда это может показаться странным и даже парадоксальным, но это тем не менее легко продемонстрировать, ибо такая точка может быть получена путём весьма простой геометрической конструкции. Построим квадрат с основанием на отрезке между точками 0 и 1 и проведём диагональ этого квадрата из точки 0, а затем окружность с центром в точке 0 и радиусом, равным этой диагонали; точка, в которой эта окружность пересечёт прямую, не может быть выражена никаким целым или дробным числом, поскольку расстояние от неё до точки 0 равно диагонали квадрата, несоизмеримой с его стороной, то есть с единицей длины. Таким образом, множества дробных чисел, несмотря на неопределённое убывание их значений, всё равно не хватает, чтобы заполнить, скажем так, отрезки между точками, содержащимися в линии4, что равнозначно утверждению, что это множество не является реальным и адекватным эквивалентом линейной непрерывности; для выражения мер определённых длин, таким образом, приходится вводить новые виды чисел, называемые несоизмеримыми, то есть такие, которые не имеют общей меры с единицей. Таковы иррациональные числа, выражающие результаты арифметически невозможных излечений корней, как, например, квадратный корень из числа, не являющегося квадратом другого числа; так, в предыдущем примере, отношение диагонали квадрата к его стороне и, соответственно, точка, удалённая от начала линии на длину этой диагонали могут быть выражены только иррациональным числом ?2, которое действительно является несоизмеримым, поскольку не существует целого или дробного числа, квадрат которого равнялся бы 2; и помимо этих иррациональных чисел существуют ещё другие несоизмеримые числа, геометрическое происхождение которых очевидно, как, например, число ?, выражающее отношению длины окружности к её диаметру. — 21 —
|