. Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр. 10. Придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга. Ответы и указания1. Если радиус круга R , то площадь его ?R 2, а длина окружности 2?R , Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга, имеет сторону длиною . Площадь такого квадрата равна Отношение показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22 %. 2. Из отношения легко установить, что изложенное в задаче правило дает преувеличение примерно на 0,6 %. 3. Правило дает преуменьшение примерно на 2?%. 4. Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть найдены помощью конечного числа математических операций. 5. Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем гипотенузу длиною в , т. е. тех же единиц. Этот отрезок приближенно выражает длину окружности, диаметр которой равен взятой единице длины. Зная это, можно построить прямоугольник, приближенно равновеликий кругу; таким прямоугольником будет, например, прямоугольник со сторонами в 1 и единиц длины. Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст). 6. Сумма . Зная, что при радиусе, равном единице длины, есть сторона вписанного квадрата (рис. 4), a — сторона вписанного равностороннего треугольника (рис. 5), легко построить отрезок, приближенно равный длине полуокружности. Дальнейший ход построения читатель найдет сам, руководствуясь указаниями, данными выше. 7. Сумма . Для построения отрезка в единиц длины, надо уметь построить отрезок равный единиц длины. Построение может быть выполнено, как нахождение средне-пропорционального между отрезками в 1 и 1,8 ед. длины (рис. 7). Далее — см. решения предыдущих задач. 8. Так как выражение равно , то задача является видоизменением предыдущей. 9. Семь верных цифр. 10. Подобных правил можно предложить много. Вот одно из возможных: площадь круга приближенно равна ? площади описанного квадрата плюс половина десятой доли этой величины. Легко видеть, что здесь ? принимается равным 3,15 — приближение достаточное для многих практических целей. Что читать— 7 —
|