«Мы взяли 18 цифр ?. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для ? всеми известными его цифрами. «Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного ?, если бы оно существовало». Итак, даже для астрономии, — науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям, — не требуется вполне точного решения квадратуры круга. Десять задач1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять ?=3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта; он указан, наряду с другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространен также в Европе). 2. В древней египетской рукописи (в «папирусе Ринда») находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчета в %%, принимая ?=3,14. 3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) прием вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами равными диаметра. Какой способ точнее — этот или древнеегипетский? 4. Валлис нашел (1656 г.) для вычисления ? следующий ряд и т. д. Лейбниц вывел (1674) такое равенство: Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга? 5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для ? следующее приближенное выражение: Как помощью этого выражения приближенно решить задачу о квадратуре круга? 6. Проверьте следующее приближенное равенство: Как воспользоваться этим соотношением для приближенной квадратуры круга? 7. Проверьте приближенное равенство Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга? 8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в и диаметра круга, приближенно равен длине окружности этого круга. Как помощью этого соотношения приближенно решить задачу о квадратуре круга? 9. Голландский инженер Петр Меций нашел (в 1585 г.) для ? легко запоминаемое выражение — 6 —
|