Дважды два = икс?

Не видя, не зная и не понимая сути дела, то есть происхождения математических понятий, ребёнок получает поверхностные, далёкие от истины представления о математике как особой области действительности. Подобно грамматике, математика видится им не как стройное светлое здание, а как нагромождение отдельных элементов и блоков, правила обращения с которыми неизвестно кто и зачем придумал.

Конечно, и здесь путём многих проб и ошибок происходит выделение собственно математической реальности. Ситуация «инсайта», открытия этой математической специфики, ярко обрисована американским психологом Куртом Гольдштейном, когда ребёнок после долгих безуспешных попыток овладеть определёнными математическими действиями на реальных предметах вдруг восклицает: «Я понял! Это не настоящие яблоки!.. Это яблоки из задачи!» То есть он понял, что необходимо уйти от конкретно-практической задачи, чтобы к ней вернуться впоследствии на иной, всеобщей математической основе. Но ни способ его мышления, ни способ обучения не позволяют ему совершить такое восхождение. Обобщение математических закономерностей происходит с трудом, с помощью однотипных упражнений, да и то неполно и неосознанно.

Доктор психологических наук В. Крутецкий, много лет занимавшийся изучением психологии математических способностей, утверждает, что большинство детей в лучшем случае научаются решать задачи известного типа. Найти же решение новой задачи, даже относительно простой, вполне доступной интеллекту ребёнка, удаётся немногим.

В чём же причины этих и подобных трудностей, знакомых каждому педагогу?

«Виды обобщения в обучении» – так лаконично и сухо названа монография академика АПН СССР В. Давыдова. В ней на многочисленных примерах из различных областей научных знаний, воплощённых в школьных учебных предметах, Давыдов показывает одно и то же: трудности обучения объясняются тем, что ребёнок подходит к теоретическому замку с эмпирическим ключом. Он изучает не принцип работы замка, что и составляет суть любой теории, а его внешние особенности: количество и форму выступов, впадин, зазубрин. Сравнивая по этим формальным показателям замки-задачи, он устанавливает между ними определённое сходство или различие. Теперь, чтобы открыть такой замок, достаточно иметь ключ-правило, описывающее особенности той поверхности замка, которая соприкасается с ключом. Получив в руки такой ключ в готовом виде, ребёнок начинает пробовать решать задачи.

И вот тут оказывается, что мало иметь подходящий ключ, надо ещё уметь его вставить в замок на должную глубину, без усилий повернуть, и не один раз, а два, и не в эту сторону, а в другую. Открывая один замок за другим, упражняясь в применении правила, ребёнок постепенно овладевает способностью решения задач определённого типа, но так как принцип работы замка им специально не выделен, то осознаётся он неполно, нечётко. Отсюда возможность ошибки, поломки ключа или замка.