|
В нижеследующем изложении я заменяю «10» буквой t [7]. Способ мистера Коллингвуда для делителей вида tn – k может быть изложен следующим образом: «Чтобы разделить данное число на tn – k , отделяем в нём период из n цифр, начиная от разряда единиц, а затем записываем под ним увеличенное в k раз число, остающееся от первоначального при вычёркивании этого периода. Если это число содержит более чем n цифр, поступаем с ним тем же образом — и так далее, пока не будет достигнуто число, содержащее менее n цифр. Затем всё суммируем снизу доверху. Если последний период итога плюс увеличенная в k раз цифра, что была заимствована у него в процессе суммирования, будет меньше, чем наш делитель, то это и есть искомый остаток; оставшаяся часть итога есть искомое частное. Если этот [период] не меньше [делителя], то находим, какое количество раз он вмещает делитель, прибавляем это количество к частному и вычитаем это кратное делителя из остатка». Например, чтобы разделить число 86781592485703152764092 на 9993 (то есть на t 4 – 7), действуем так: Этот новый Способ лучше всего прояснить, если начать со случая (3); легко будет видеть, какие изменения следует в нём произвести, когда дело перейдёт на случаи (1) и (2). Правило для случая (3) и при знаке «–», может быть изложено так. Разбить делимое, начиная с разряда единиц, на периоды по n цифр. При наличии с левой стороны избытка, меньшего, чем h , его не отграничивать, но отнести его и соседние n цифр к одному периоду. Чтобы выстроить всю задачу, записываем делитель перед идущей за ним двойной вертикальной чертой, далее записываем делимое, разбитое на соответствующие периоды одинарными вертикальными чертами так, чтобы каждое пространство от черты до черты вмещало по n + 2 цифры. Под делимым проводим одинарную черту, а ещё ниже — двойную, оставив между ними пространство для внесения частного с расположением его разряда единиц под таковым предпоследнего периода делимого, а также остатка с расположением его разряда единиц под таковым последнего периода делимого. В этом пространстве и в пространстве ниже двойной черты проводим вертикальные черты, соответствующие таковым в делимом; а последнюю в верхнем пространстве делаем двойной, чтобы отделить частное от остатка. Например, если нам нужно разделить число 5984407103826 на 6997 (то есть на 7t 3 – 3), то вся задача, подготовленная для решения, будет выглядеть так: Чтобы решить этот пример, разделим первый период на h , внесём частное от этого деления в первый столбец под двойной линией и поместим остаток от него над вторым периодом, где он будет выполнять роль префикса к этому периоду. Ко второму периоду с его префиксом прибавим увеличенное в k раз число из первого столбца и внесём результат в верхнюю ячейку второго столбца [под двойной чертой]. Если это число не меньше, чем наш делитель, то найдём, какое количество раз оно вмещает делитель и внесём это количество в первый столбец и его же, увеличенное в k раз, во второй; затем проведём черту под вторым столбцом и приплюсуем это новое значение, вычитая из результата число, только что введённое в первую колонку, увеличенное в tn раз; а затем просуммируем первую колонку, вписывая результат в графу «Частное». Если число вверху второй колонки меньше, чем делитель, то число в первой колонке можно вносить в «Частное» сразу же. Число, внесённое в графу «Частное», и число в самом низу второй колонки суть наши частное и остаток, которые получились бы, если бы делимое оканчивалось своим вторым периодом. Теперь возьмём число, что в самом низу второй колонки, как новый второй период, и третий период как новый второй период и продолжим как ранее. — 6 —
|