Донимательная физика

A.. В теории множеств ? утверждается, что мощность отрезка прямой равна мощности прямоугольника. То есть на отрезке столько же точек, сколько их в прямоугольнике. И это заявление со всей серьезностью доказывается. При этом упускается из вида, что количество точек в прямоугольнике N2 = N1 x ?1, где N1, ?1 – количество точек на его ребрах. Такое простительно для вундеркиндов, которые всю теорию множеств строят по аналогии с арифметикой Пеано, операции в которой перестановочны и сочетательны (5-й класс). Например, эти правила приняты для построения чисел натурального ряда из простых чисел. На этот счет есть даже основная теорема арифметики.

Эти же правила для второгодников применяются при конструировании множества ? подмножеств ? множества U. Для мощности множества ? получается число сочетаний: ?(?) = 2?(U), что легко проверить. Между тем операции составления множества ? из подмножеств ? множества U в общем случае и некоммутативны, и неассоциативны. Пример – множество фермионов. Вывод: святое желание отделаться в этом вопросе просто числом всех сочетаний таковым не является. Оно вовсе не святое, а – скажем мягко – итог тысячелетних заблуждений.

B.. Каждый вид движения – это элемент множества движений. Булавка – элемент множества булавок, и это множество – частный вид множества движений и покоев. Однако различный порядок выполнения движений в физике (например, поворотов) приводит к совершенно непохожим результатам. Мало того, что их количество возрастает не по закону числа всех сочетаний ? = 2?, когда результат не зависит от очередности, так оно еще может быть безмерно большим!

Посмотрим, сколькими способами можно перемножить ряд математических объектов, если умножение некоммутативно и вполне (обобщенно) неассоциативно. Расставим скобки и подсчитаем число возможных вариантов: a((bc)(de))(a((m((fg)h) … x)))(yz)), причем все буквы могут менять и последовательность появления, и свое количество. Всего результатов перемножения конечного набора букв будет много больше, чем 1. Единица же – это ровно столько, сколько дает основная теорема арифметики для выражения натурального числа из простых чисел.

Скобки можно расставить ni = способами для нечетного i > 2 и i = способами для четного i ? 2, где i – это количество знаков. Принято n0 = 1, n1 = 2, nk = n–k [9, с. 13.5]. Но надо учесть число перестановок различных знаков и то, что некоторые знаки могут совпадать. Если i ? ?, то есть всех букв счетное множество «мощности» C0, и различие между ni и i несущественно, то получим оценку числа всех возможных результатов перемножения: N > Под скобкой число n > 2C0, но и от него берется факториал. По формуле Стирлинга оценим количество возможных результатов перемножения: