Компьютерное исчисление

ПАРАДОКС ЛЖЕЦА

Представьте, что мы выражаем на математическом языке следующее утверждение G:

G = [это утверждение не истинно].

Если мы установим, что утверждение G истинно, мы подтвердим, что оно ложно. И наоборот, если мы решим, что G ложно, это будет означать, что G истинно. Этот парадокс имеет место в самореферентных системах, к которым принадлежит и фраза в описанном примере, и такой ее вариант, как «Я лгу». В результате мы получаем странную петлю. Независимо от того, как мы будем рассуждать, мы всегда приходим в ту же точку, откуда начали. Другими примерами самореферентности являются рука, рисующая руку, на знаменитой картине Эшера, синтез белков и ДНК клетки или «микрофон, слушающий колонку», представленный в книге Дугласа Хофштадтера «Я странная петля»(I am a strange loop).

«Рисующие руки» (1948), Мауриц Корнелис Эшер.

В тот период некоторые ученые сформулировали следующий вопрос: может ли математическая интуиция быть кодифицирована в свод правил, или (па современном языке) в компьютерную программу? Необходимо было понять, возможно ли создание механического разума, сегодня именуемого компьютером, с помощью которого мы сможем автоматически исследовать или доказать без вмешательства человека истинность или ложность какого-либо математического доказательства или утверждения. Например, для того, что мы сегодня называем искусственнглм интеллектом, не существует системы правил для вычисления или вывода, которая позволила бы определить с помощью программы свойства натуральных чисел. Натуральные числа N = [1, 2, 3, 4, ...], которые мы используем для счета элементов целой величины, например количества яблок, имеют определенные свойства.

Пусть a, b и с будут числом яблок, равным 2, 3 и 5 соответственно. Свойство ассоциативности устанавливает, что (а + 6) + с = а + (b + с), в то время как согласно свойству дистрибутивности а • (b + с) = а • b + а • с. Если мы представим эти два свойства натуральных чисел в виде утверждений, назвав ассоциативность утверждением H, а дистрибутивность — утверждением /, и заменим а, b и с их числовыми выражениями

Н = [(2 + 3) + 5 = 2 +(3 + 5)] => [Н является...],

I = [2 • (3 + 5) = 2 *3 + 2 • 5] => [I является...],

станет очевидно, что не существует программы для компьютера или какой-либо другой машины, которая могла бы автоматически доказать или опровергнуть этот тип утверждений. Как это ни удивительно, но написать программу для компьютера, которая доказала бы то, что очевидно даже ребенку школьного возраста, а именно (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5), невозможно, поэтому в математике существуют «истинные утверждения» о числах, которые не могут быть доказаны с помощью правил дедукции. Как можно себе представить, теорема Геделя заставила пошатнуться казавшиеся непоколебимыми идеи Бертрана Рассела и сами столпы формальной математической науки, которыми так гордятся ученые.