|
? Конец страницы 8 ? ? Начало страницы 9 ? щие «выигрышу» первого игрока и «выигрышу» второго игрока: Слово «выигрыш» мы заключили в кавычки, так как возможен случай, когда игрок не получает, а платит, — тогда его «выигрыш» отрицателен. Наиболее изученными являются игры, когда выигрыш одного игрока в точности равен проигрышу другого. Такие игры называют играми с нулевой суммой. В играх с нулевой суммой в платежной матрице обычно пишут одно значение. По договоренности выигрыши игрока 1 читаются с тем знаком, с которым они входят в матрицу, а выигрыши игрока 2 — с противоположным знаком, Например, в матрице максимальный выигрыш игрока 1 будет при условии, если он выберет первую стратегию, а его противник будет придерживаться второй. В этом случае игрок 2 платит игроку 1 пять единиц. Если в игровой матрице существует значение выигрыша xij, являющееся максимальным среди минимальных по всем строкам і и одновременно минимальным среди максимальных по всем столбцам j, то стратегии і и j являются наилучшими для каждого игрока с точки зрения достижения ими гарантированного результата и подобная матрица, как говорят, имеет седловую точку. Это означает, что в распоряжении игрока 1 нет ничего лучшего, чем ?i, а игрок 2 поступит самым благоразумным образом, если выберет ?j. Выбранные таким образом стратегии игроков называются минимаксными стратегиями. ? Конец страницы 9 ? ? Начало страницы 10 ? В матрице седловой точки нет; для игрока 1 наилучшей стратегией, точнее наилучшей из наихудших, является ?2, для игрока 2 — ?1. Этот случай не так прост, он требует некоторых рассуждений игроков. В самом деле, игрок 1 убежден в том, что игрок 2 выберет в соответствии с принципом минимакса стратегию ?1 так как ?1 — лучший ответ на ?2. Но в этом случае игроку 1 лучше выбирать ?1, чем ?2. Если же игрок 2 сумеет повторить это рассуждение, то он. очевидно, выберет ?2 а не ?1. Тогда игроку 1 следует выбрать ?2 и оба игрока будут двигаться по кругу. Выход из этой ситуации заключается в том, что игрокам целесообразно выбирать стратегии случайным образом. Теория игр дает рекомендации, каким образом должен «бросаться жребий»1. Полученные в итоге стратегии называются смешанными, они определяют наилучший исход игры для каждого игрока. Если же теперь -мы обратимся к играм с ненулевой суммой, то характер рассуждений, которыми по необходимости пользуются игроки, существенно усложнится. В играх с ненулевой суммой в каждую клетку матрицы мы должны поместить не одно, а два значения платежей: xij и уij. если игрок 1 выбрал стратегию ?i, а игрок 2 — ?j, то первый получает выигрыш xij, а второй — уij. Естественно интерпретировать отрицательные значения выигрышей как проигрыши. — 6 —
|